En geometría diferencial, una variedad compleja M es una variedad topológica que tiene la estructura que nos permite definir la noción de función holomorfa .[1]
Ello se podrá conseguir por dos caminos:
- Exigiendo que exista un atlas (o conjunto de cartas) que recubra la variedad de modo que las funciones de transición (o cambios de cartas) sean holomorfas.
- O, de un modo menos directo, exigiendo la existencia sobre la variedad diferenciable subyacente de una estructura casi compleja J (endomorfismo que verifica ) y una condición de integrabilidad.
Toda variedad compleja de dimensión compleja n será, en particular, también una variedad diferenciable de dimensión real 2n, orientable,[2] y dotada de una orientación natural.[3]
Puesto que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones diferenciables, la teoría de variedades complejas presenta importantes diferencias con la de variedades diferenciables.
- ↑ Del mismo modo que una variedad diferenciable tiene la estructura necesaria para definir el concepto de función diferenciable.
- ↑ El recíproco no es cierto pues S4 no admite ninguna estructura compleja a pesar de ser de dimensión par y orientable.
- ↑ Hereda la orientación natural de , ya que los biholomorfismos preservan siempre la orientación.